AVL 树

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2025-01-21

在本文中，我将详细介绍 AVL 树这一自平衡二叉查找树的基本概念、核心原理以及其操作过程，帮助读者理解其如何保持高效的查询、插入和删除操作。同时，我还将通过代码示例演示 AVL 树的实现，并分析其在实际应用中的优势与局限。本文适合那些有一定数据结构基础，并希望深入了解自平衡树及其应用的读者。

什么是 AVL 树？

AVL 树是计算机科学中最早被发明的平衡二叉树。它通过平衡因子 (Balance Factor) 来衡量树的平衡程度，并通过树旋转来维护平衡。

AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis。

平衡因子

平衡因子是 AVL 树用来衡量自身平衡程度的标准。

一个节点的平衡因子定义为节点左右子树的高度差。当节点的平衡因子绝对值小于等于 $1$ 时，称该节点为平衡节点，否则为失衡节点。 AVL 树中所有的节点都是平衡节点。

AVL 树的高度

设 $f_h$ 为高度 $h$ 的 AVL 树所包含的最少节点数，则

f_h = \begin{cases} 1, & h = 1 \\ 2, & h = 2 \\ f_{h-1} + f_{h-2} + 1, & h \ge 3 \end{cases}

显然， $\{f_h + 1\}$ 是一个斐波那契数列。我们可以算出它的通项为

f_h = \frac{5+2\sqrt{5}}{5} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^h + \frac{5-2\sqrt{5}}{5} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^h - 1

当 $h$ 足够大时

f_h \sim \frac{5+2\sqrt{5}}{5} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^h

因此，对于有 $n$ 个节点的 AVL 树，其高度

h \le \log_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{5}{5+2\sqrt{5}} n} = O (\log n)

因此 AVL 树的高度为 $O(\log n)$ ，始终能保持较好的平衡。

树旋转

在 AVL 树中，插入或删除节点会改变树的高度，产生失衡节点。这时，我们用树旋转来重新维护节点的平衡。

由于修改前 AVL 的节点平衡因子大小不超过 $1$ ，如果平衡被破坏，则失衡节点的平衡因子只可能是 $\pm 2$ 。

左旋与右旋

根据旋转方向的不同，我们可以把树旋转分为左旋和右旋。

左旋是将父节点经旋转变成左儿子，而其原先的右儿子变成新的父节点的过程。

右旋则与左旋相反，是将父节点变成右儿子，原先的左儿子变成新的父节点的过程，相当于做一次左旋的逆变换。

不同旋转策略的采用

我们自底向上研究节点变化后的 AVL 树，找到第一个失衡节点，称该节点为 node。该节点必有子节点，称其中高度较大的子节点为 child。

根据 node 与 child 平衡因子情况的不同，我们要采取不同的旋转策略。

失衡节点的平衡因子	子节点的平衡因子	所属情况	应采取的旋转方法
$\gt 1$	$\ge 0$	LL	右旋
$\gt 1$	$\lt 0$	LR	先左旋后右旋
$\lt -1$	$\le 0$	RR	左旋
$\lt -1$	$\gt 0$	RL	先右旋后左旋

注

上表中“右旋”指仅右旋 node ，“先左旋后右旋”则是先左旋 child 后右旋 node，其他同理。

LR 可理解为 node 节点的左子树偏大，而 child 节点的右子树偏大。

示例

在上图中，node 为 10，child 为 3。其中 node 的左子树较大， child 的右子树较大，属于 LR，因此要先左旋后右旋。

首先，我们对 3 进行一次左旋，得到下面的树结构。

LR-1

注

实际上，这里我们通过对 child 节点的左旋操作，将 LR 转化成了 LL。

然后，我们再对 10 进行一次右旋，最终得到平衡后的 AVL 树。

LR-2

AVL 树的相关操作

有了对平衡因子和树旋转的了解后，要理解 AVL 树的相关操作就非常容易了。

查找

AVL 树的查找不涉及任何节点操作，因此与普通的二叉平衡树无异。这里就不再过多赘述。

插入

AVL 树在进行一次插入操作后可能会产生失衡节点。我们需要在插入节点的位置向上搜索，找出所有可能的失衡节点，进行树旋转。

注

一次插入可能会产生多个失衡节点，因此我们要一直向上回溯至根节点，确保所有节点都是平衡节点。在回溯的同时，也要注意更新节点的平衡因子。

删除

AVL 树的删除也与二叉搜索树类似：如果被删除的节点是叶子节点，直接将其删除；否则，将节点与其后继节点交换，再删除交换后的节点。

与插入相同，删除也会带来平衡因子的更新，因此需要沿着被删除节点到根节点的路径遍历，重新维护平衡。

代码实现

#pragma once

#include <algorithm>
#include <cstddef>
#include <optional>

namespace xtd
{

template <typename T>
class AvlTree
{
  public:
    using value_type = T;
    using size_type = std::size_t;

    struct Node
    {
        value_type key{};
        size_type height{};
        Node* left{};
        Node* right{};

        void update_height()
        {
            height = 1 + std::max(get_height(left), get_height(right));
        }
    };

    std::optional<value_type> find(value_type const& key) const
    {
        Node const* node = find(root_, key);
        return node ? std::make_optional(node->key) : std::nullopt;
    }

    void insert(value_type const& key)
    {
        root_ = insert(root_, key);
    }

    void remove(value_type const& key)
    {
        root_ = remove(root_, key);
    }

  private:
    static int get_height(Node* node)
    {
        return node ? node->height : 0;
    }

    static int get_balance(Node* node)
    {
        return node ? get_height(node->left) - get_height(node->right) : 0;
    }

    Node* root_{};

    Node const* find(Node const* node, value_type const& key) const
    {
        if (node == nullptr || node->key == key)
        {
            return node;
        }

        if (key < node->key)
        {
            return find(node->left, key);
        }
        return find(node->right, key);
    }

    Node* rotate_right(Node* node)
    {
        if (node == nullptr || node->left == nullptr)
        {
            return node;
        }

        Node* left = node->left;
        Node* right = left->right;

        left->right = node;
        node->left = right;

        // 先更新 node 的高度，再更新 left 的高度
        node->update_height();
        left->update_height();

        return left;
    }

    Node* rotate_left(Node* node)
    {
        if (node == nullptr || node->right == nullptr)
        {
            return node;
        }

        Node* right = node->right;
        Node* left = right->left;

        right->left = node;
        node->right = left;

        // 先更新 node 的高度，再更新 right 的高度
        node->update_height();
        right->update_height();

        return right;
    }

    Node* rotate(Node* node)
    {
        if (node == nullptr)
        {
            return node;
        }

        if (get_balance(node) > 1)
        {
            if (get_balance(node->left) < 0)
            {
                node->left = rotate_left(node->left);
            }
            return rotate_right(node);
        }

        if (get_balance(node) < -1)
        {
            if (get_balance(node->left) > 0)
            {
                node->left = rotate_right(node->left);
            }
            return rotate_left(node);
        }

        return node;
    }

    Node* insert(Node* node, value_type const& key)
    {
        if (node == nullptr)
        {
            return new Node{.key = key, .height = 1};
        }

        if (key < node->key)
        {
            node->left = insert(node->left, key);
        }
        else
        {
            node->right = insert(node->right, key);
        }

        node->update_height();
        return rotate(node);
    }

    Node* remove(Node* node, value_type const& key)
    {
        if (node == nullptr)
        {
            return node;
        }

        if (key < node->key)
        {
            node->left = remove(node->left, key);
        }
        else if (key > node->key)
        {
            node->right = remove(node->right, key);
        }
        else
        {
            if (node->left == nullptr || node->right == nullptr)
            {
                Node* temp = node->left ? node->left : node->right;

                // node 为叶子节点，直接删除
                if (temp == nullptr)
                {
                    delete node;
                    return nullptr;
                }

                // node 只有一个子节点，用子节点替换 node
                *node = *temp;
                delete temp;
            }
            else
            {
                // node 有两个子节点，找到右子树的最小节点，用该节点替换 node
                Node* temp = node->right;
                while (temp->left != nullptr)
                {
                    temp = temp->left;
                }

                node->key = temp->key;
                node->right = remove(node->right, temp->key);
            }
        }

        node->update_height();
        return rotate(node);
    }
};

} // namespace xtd

与红黑树的比较

AVL 树与红黑树都是计算机科学中常见的平衡树类型，因此常被用来比较。

事实上，每一颗 AVL 树都可以被染色成红黑树，但红黑树不一定是 AVL 树。也就是说，AVL 树的平衡要求比红黑树更严格。因此，AVL 树查找性能相对较好，但插入和删除效率则会偏低。

AVL 树更适合插入删除次数少、查找次数多的场景，红黑树则更胜任于频繁查删的场景。 Windows NT 内核中就广泛使用了 AVL 树，而 C++ 标准库里的 std::map 和 std::set 则是用红黑树实现的。

参考资料

版权所有

版权归属：SuniRein

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